生後3ヶ月の柴犬を飼っています。

あまりにもおとなしすぎて心配しています。
あと、少し運動したらすぐ寝てしまいます。

知り合いに聞いたら子犬は起きている間は元気に飛び回ってるもんだよ。あまりにおとなしすぎて、すぐ疲れるのは何か病気を持ってるかもしれない
と言われました。

常時テンションが低くて、おとなしい子犬はやはり少し疑問を持たれますか？
たわいのない質問かもしれませんが、それを言われてから結構きになってしまってます。

子犬、特に柴犬についてご存じの方教えてください

犬にも体力、個性がありますので一概に病気だとか考えるのはどうかと思いますし見ていないのでどれだけおとなしいかはわかりませんが、
うちは同じ犬種、性別、年齢もほぼ同じの犬を飼っていますが体の大きさが違うせいか小さい時は1匹は大人しく、1匹は電池切れになるまではしゃぎまくっていました。

柴犬を購入されたのはブリーダーさんからですか？
もしブリーダーさんなら小さい時に病気した事がなかったかとか確認してみたらいかがでしょう。
食欲、ウンチの状態、見た目（毛艶、目やに、耳など）異常がないようなら様子をみたらいかがですか。
それでも気になるようなら病院で健康診断を受けて見るとか。
人の話を鵜呑みにせず判断できるように頑張って下さい。

生後60日に柴犬専門の販売店から購入しました。
食欲、ウンチともに大丈夫なのですが、老犬のような歩き方とテンションなので心配してしまいました。
今度狂犬病のワクチンの際に健康診断をうけてみようかと思います。
ありがとうございました。

柴犬は元々独立心が強い子が多いようです。
ドッグランでも柴犬をよく見ますが大人しい子多いです。